【数列收敛例题】在数学分析中，数列的收敛性是一个重要的概念。判断一个数列是否收敛，通常需要考察其极限是否存在。本文通过几个典型的例题，总结数列收敛的判断方法，并以表格形式展示结果。
一、例题解析
例题1：
数列：$ a_n = \frac{1}{n} $
分析：随着 $ n \to \infty $，分母无限增大，分子为常数，因此 $ a_n \to 0 $。
结论：该数列收敛于 0。
例题2：
数列：$ b_n = (-1)^n $
分析：该数列在 -1 和 1 之间来回波动，没有趋向于一个固定值。
结论：该数列不收敛（发散）。
例题3：
数列：$ c_n = \frac{n+1}{n} $
分析：可以化简为 $ 1 + \frac{1}{n} $，当 $ n \to \infty $ 时，$ \frac{1}{n} \to 0 $，所以 $ c_n \to 1 $。
结论：该数列收敛于 1。
例题4：
数列：$ d_n = \sqrt{n} $
分析：随着 $ n $ 增大，$ \sqrt{n} $ 也无限增大，没有极限。
结论：该数列发散。
例题5：
数列：$ e_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $
分析：这是一个著名的极限，其极限为自然常数 $ e $。
结论：该数列收敛于 $ e $。
二、总结表格
| 数列表达式 | 极限值 | 是否收敛 | 判断依据 |
| $ a_n = \frac{1}{n} $ | 0 | 是 | 分母趋于无穷，分子不变 |
| $ b_n = (-1)^n $ | 无 | 否 | 振荡，无稳定值 |
| $ c_n = \frac{n+1}{n} $ | 1 | 是 | 化简后趋近于 1 |
| $ d_n = \sqrt{n} $ | 无 | 否 | 数列无限增大 |
| $ e_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $ | $ e $ | 是 | 著名极限，收敛于 $ e $ |
三、小结
通过上述例题可以看出，判断数列是否收敛，关键在于观察其极限是否存在。如果极限存在，则数列收敛；否则，发散。常见的判断方法包括直接计算极限、利用已知极限公式、或通过单调有界定理等进行判断。
希望以上内容对理解数列收敛问题有所帮助。