【arcsin的原函数是什么】在数学中，求一个函数的原函数（即不定积分）是微积分中的基本问题之一。对于反三角函数“arcsin x”，我们常常需要计算它的积分形式。本文将总结“arcsin x”的原函数，并以表格形式清晰展示相关公式和推导过程。
一、arcsin的原函数是什么？
arcsin x 的原函数是指对 arcsin x 进行不定积分的结果，即：
$$
\int \arcsin x \, dx
$$
通过分部积分法可以求得其原函数。
二、求解过程简述
设：
$$
u = \arcsin x, \quad dv = dx
$$
则：
$$
du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx, \quad v = x
$$
根据分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
代入得：
$$
\int \arcsin x \, dx = x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx
$$
接下来计算第二项积分：
令：
$$
w = 1 - x^2 \Rightarrow dw = -2x dx \Rightarrow -\frac{1}{2} dw = x dx
$$
因此：
$$
\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{w}} dw = -\sqrt{w} + C = -\sqrt{1 - x^2} + C
$$
最终结果为：
$$
\int \arcsin x \, dx = x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C
$$
三、总结与表格
| 函数 | 原函数（不定积分） | 说明 |
| $\arcsin x$ | $x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C$ | 使用分部积分法求得，C 为积分常数 |
四、注意事项
- 在实际应用中，若涉及定积分，则需代入上下限进行计算。
- 若有其他反三角函数（如 arccos、arctan 等），它们的原函数也有类似但不同的表达式。
- 本公式适用于定义域 $x \in [-1, 1]$。
通过以上分析，我们可以清楚地知道 arcsin x 的原函数是 $x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C$，并在需要时快速调用或验证。