【sin75度的三角函数值】在三角函数中，sin75°是一个常见的角度，其值可以通过三角恒等式进行计算。75度可以看作是45度与30度的和，因此可以利用正弦的和角公式来求解。通过这种方式，不仅能够得到精确的数值，还能加深对三角函数性质的理解。
一、基本概念
在三角函数中，sinθ 表示直角三角形中对边与斜边的比值。对于75度这样的非标准角度，直接查表或使用计算器虽然方便，但若能通过数学公式推导出其值，将有助于理解其背后的数学逻辑。
二、计算方法
根据正弦的和角公式：
$$
\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
$$
令 $ a = 45^\circ $，$ b = 30^\circ $，则有：
$$
\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ
$$
代入已知的特殊角三角函数值：
- $ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $
- $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $
- $ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $
- $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $
代入计算：
$$
\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$
三、结果总结
| 角度 | 正弦值（sin） | 余弦值（cos） | 正切值（tan） |
| 75° | $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ | $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ | $\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}$ |
注：tan75° 可以通过 $\frac{\sin 75^\circ}{\cos 75^\circ}$ 计算，也可用正切的和角公式得出，结果为 $2 + \sqrt{3}$。
四、小结
sin75° 的值可以通过三角恒等式准确计算，无需依赖计算器。它不仅在数学学习中有重要意义，也常用于工程、物理等实际问题中。掌握这类角度的三角函数值，有助于提升对三角函数的理解与应用能力。