【部分分式展开】在数学中，特别是在代数和微积分中，部分分式展开（Partial Fraction Decomposition）是一种将有理函数分解为更简单分数之和的方法。这种方法常用于积分、微分方程求解以及信号处理等领域。通过部分分式展开，可以将复杂的有理函数转化为多个易于处理的简单分式，从而简化计算过程。
一、什么是部分分式展开？
部分分式展开是指将一个有理函数表示为若干个简单分式的和。这些简单分式通常具有线性或二次因式形式，便于进一步分析和运算。
例如，考虑以下有理函数：
$$
\frac{3x + 2}{(x - 1)(x + 2)}
$$
通过部分分式展开，可以将其表示为：
$$
\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}
$$
其中 $ A $ 和 $ B $ 是待定系数，需通过比较分子来确定。
二、部分分式展开的步骤
1. 检查分母是否可因式分解：若分母不可因式分解，则无法进行部分分式展开。
2. 判断分子次数是否低于分母：若分子次数不小于分母，则需先进行多项式除法。
3. 将分母分解为一次或二次因式的乘积。
4. 根据不同的因式类型设定相应的分式形式。
5. 将原式与展开后的分式相等，求解未知系数。
三、常见分式形式
| 分母因式类型 | 部分分式形式 |
| 线性因式（如 $ x - a $） | $ \frac{A}{x - a} $ |
| 重复线性因式（如 $ (x - a)^n $） | $ \frac{A_1}{x - a} + \frac{A_2}{(x - a)^2} + \cdots + \frac{A_n}{(x - a)^n} $ |
| 二次不可约因式（如 $ x^2 + bx + c $） | $ \frac{Ax + B}{x^2 + bx + c} $ |
| 重复二次因式（如 $ (x^2 + bx + c)^n $） | $ \frac{A_1x + B_1}{x^2 + bx + c} + \cdots + \frac{A_nx + B_n}{(x^2 + bx + c)^n} $ |
四、实例解析
例1：
对 $ \frac{2x + 3}{(x - 1)(x + 2)} $ 进行部分分式展开。
设：
$$
\frac{2x + 3}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}
$$
通分后得：
$$
2x + 3 = A(x + 2) + B(x - 1)
$$
展开并整理：
$$
2x + 3 = (A + B)x + (2A - B)
$$
比较系数：
- $ A + B = 2 $
- $ 2A - B = 3 $
解得：
- $ A = 1 $
- $ B = 1 $
因此，部分分式展开结果为：
$$
\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2}
$$
五、总结
部分分式展开是处理有理函数的重要工具，尤其在积分和微分方程中应用广泛。其核心在于正确识别分母的因式结构，并根据规则设置相应的分式形式。掌握这一方法有助于提升数学运算的效率和准确性。
| 关键点 | 内容 |
| 定义 | 将有理函数分解为多个简单分式的和 |
| 步骤 | 检查因式分解、次数比较、设定形式、求解系数 |
| 常见形式 | 线性因式、重复因式、二次不可约因式 |
| 应用 | 积分、微分方程、信号处理 |
| 优点 | 简化复杂表达式，便于计算和分析 |