【等差等比数列公式等差等比数列求和公式】在数学学习中，等差数列与等比数列是两个非常重要的数列类型，它们在实际问题中有着广泛的应用。为了帮助大家更好地理解和掌握这两类数列的相关公式，本文将对等差数列和等比数列的基本概念、通项公式以及求和公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、等差数列
定义：
一个数列如果从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数，这样的数列称为等差数列。这个常数称为公差，记作 $ d $。
通项公式：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数，$ d $ 是公差。
前 $ n $ 项和公式：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d
$$
这是计算等差数列前 $ n $ 项和的常用方法。
二、等比数列
定义：
一个数列如果从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数，这样的数列称为等比数列。这个常数称为公比，记作 $ q $。
通项公式：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}
$$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数，$ q $ 是公比。
前 $ n $ 项和公式：
当 $ q \neq 1 $ 时，
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}
$$
当 $ q = 1 $ 时，数列为常数列，此时
$$
S_n = a_1 \cdot n
$$
三、总结表格
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每一项与前一项的差为常数（公差 $ d $） | 每一项与前一项的比为常数（公比 $ q $） |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot q^{n - 1} $ |
| 前 $ n $ 项和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $（$ q \neq 1 $） |
| 特殊情况 | 无特殊限制 | 当 $ q = 1 $ 时，$ S_n = a_1 \cdot n $ |
四、小结
等差数列与等比数列是数列中的基本模型，掌握它们的通项公式和求和公式对于解决实际问题具有重要意义。通过理解它们的规律和性质，可以更高效地处理相关的数学问题。建议在学习过程中多做练习题，加深对这些公式的记忆和应用能力。